生活是美好的，但是充满了谬误，而逻辑学的任务就是寻找获得真理的方法。无论什么时候，也无论是谁，学点儿逻辑学知识永远都是必要的、有好处的。不管是过日子，还是搞科学研究，要求的是科学的、严密的推理和论证，在这方面我们好象总是有所欠缺。比如，“杀猪杀屁股，各人有各人的杀法”和“狗改不了吃屎”是我们日常生活中常说的两句话，前者用来为自己辩护，好象从“杀猪杀屁股，各人有各人的杀法”可以推出我干这件事情的方法是正确的；后者用来教训不听话的孩子，好象从“狗改不了吃屎”可以推出这孩子根本不可能改掉自己的毛病。这两种推理过程，前提和结论根本就不搭边儿，硬要扯到一起，这就是我们一贯的、以比喻代替推理和论证的坏习惯。如果用于调侃，或者为文章增色倒也罢了，要是用于说正经事情可真是要不得。前几天在公交车上，我听见一个十多岁的小姑娘在和父母聊天。她说：“丨警丨察问犯人，你为什么要制造假钞？犯人说，因为我不会制造真钞。”姑娘还小，她把这当成一种很新鲜的事物加以接受，可是她不知道——我想车上有很多人同样也不知道——犯人是在偷换命题，或者说是在转移话题。为了让下一代的明天更美好，我们是不是应该在制造错误和混乱的同时，让她们明白其中到底是怎么一回事呢？

　　形式逻辑的发展距今已有两千多年，在这两千多年里出现过许多杰出的逻辑学家，他们，以及他们的追随者，也从来没有停止过争吵——从什么是逻辑学到逻辑学到底应该包括哪些内容，等等。这也直接导致了其它逻辑学门类的产生，比如数理逻辑、多值逻辑、直觉逻辑、亚结构逻辑、模态逻辑、辩证逻辑，等等。也许只有在一点上才是大家都可以认同的，那就是尽管形式逻辑不是万能钥匙，解决不了所有的逻辑学问题，但不可否认的是它应当永远在整个逻辑学中占有一席之地。而且，对于那些渴望纯洁的人来说，它才是正统。如果亚里士多德到现在还没有投胎的话，他应该由衷地感到高兴。


日期：2009-02-19　21:46:17

　　★★★★★★楼主续文
　　5.2 数理逻辑
　　在历史上，各门学科之间的交叉和融合是一种常态。到了17世纪的时候，由于数学的大发展，使得那些既精通数学，又对其它学科有深入研究的人开始想入非非。这里面有两个特别不老实的，需要在这里重点提一下。
　　这第一个人我们在前面已经认识，那就是德国的“万能科学家”莱布尼茨。这个德国人生在书香门第，加上有幸结识了一些数学家，在数学研究方面很在行（当然，他在其它方面也很在行）。总的来说，数学是一种强有力的工具，几乎所有的学科要达到完善的地步，必须在用数学进行描述的时候同样也是既优美、又严密，无懈可击。而对于数学本身来说，简洁的、能够恰当地描述各种事物内在本质的符号至关重要。在作了一番研究之后，他有了一些奇特的想法，觉得人类需要一种普遍的、恰当的符号，普世的所有问题和思想都可以归结为这些符号，然后用一套计算方法来代替人类的思考和推理过程。而且，他希望（在自己的有生之年能够看到）人类能够发明这样一种机器，能够自动地代替大脑的逻辑思考过程，不管谁和谁有什么样的问题，发生了什么样的争端，只需要把相关的前提条件往这台机器里一输，就能通过“计算一下”的方式，一劳永逸地解所有问题。

　　莱布尼茨活了70岁，尽管他博览群书，涉猎百科，是个举世罕见的科学天才，但终究也没有发明“普遍文字”，更不要说那台平息争端的机器。时间过得很快，一百多年以后，终于又来了一个人，他把逻辑学和数学相结合，创立了数理逻辑。这个人叫乔治·布尔。
　　乔治·布尔1815年生于英格兰，他的父亲是一位鞋匠，母亲曾是女仆。年仅12岁，布尔就掌握了拉丁文和希腊语，后来又自学了意大利语和法语，16岁开始任教以维持生活。看得出，这个人从小就既聪明又懂事，他似乎知道自己更喜欢做什么，而不是子承父业，一辈子往皮子里敲钉子。
　　两千年来，亚里士多德一直都是权威。莱布尼茨活着的时候，他有改进传统逻辑的想法，但心存顾虑，也可能是力不从心，不知道从哪里着手。到了布尔这里，他开始决定要做些什么。
　　对于传统的形式逻辑来说，三段论一直是个金字招牌，无论布尔想怎样改进这门学科，都必须选把它拿下。为此，布尔在前人的基础上，使用集合这个数学工具来研究三段论。
　　所谓集合，用中学课本上的话说就是——把一些单独的物体合起来看成一个整体，就形成了集合。比如，整个宇宙里的所有东西可以看成一个集合；动物园里的各种动物可以形成一个集合；动物园里所有的斑马可以形成一个集合；地球上的所有人可以看成一个集合；你家里的所有成员可以看成一个集合，甚至，从你头上掉下来一块头皮屑，这也可以看成一个集合，当然，这个集合很小，小到只有一块头皮屑。

　　可以挑出一些两个集合中都有的东西来形成一个新的集合，这称为两个集合的交集。比如，如果一个集合里有芝麻和绿豆，而另一个集合里有绿豆和苹果，则它们的交集是一个新的集合，它里面只有绿豆。
　　除了在两个集合中挑选之外，也可以做相反的事情，那就是把两个集合掺和到一块儿，形成一个更大的集合，称为“合集”或“并集”。比如对于前面那两个集合，它们的并集也是一个新的集合，不过里面不但有绿豆，还有芝麻和苹果。
　　一直以来，逻辑学中所涉及到的概念的命题都是通过自然语言，也就是我们母语来表达，用嘴说，或者写成文字，而论证或推理的结果也是一样。但是，布尔把它们变成了字母和符号。比如，可以用M来代表人的集合，这里面包含了人类的全体，用P来代表所有要死的东西。同时，他还借用了数学里面的一些运算符，比如“×”和“＋”，来表示概念和命题之间的逻辑关系。“×”表示两个集合相交，“＋”表示合并两个集合的内容。这样，“人都是要死的”就可以表示成

　　M × P ＝ M ………………… ①
　　这个算式所要表达的意思是，“人”和“要死的东西”的交集是“人”（注意，要死的东西是很多的，不一定只是人，比如刚才我就拍死一只可恶的蚊子）。
　　有了这样的经验，我们就同样可以把“苏格拉底”看成集合S （当然，这是一个非常小的集合，小到只有苏格拉底自己），而“苏格拉底是人”可以表述成
　　S × M ＝ S ………………… ②
　　意思是，“所有的人”和“苏格拉底”的交集只能是“苏格拉底”自己。

　　因为在①中，M ＝ M × P，所以，我们可以将M代入②中，可知
　　S × M × P ＝ S ………… ③
　　又因为在②中，S ＝ S × M，现在将其代入③中，可得
　　S × P ＝ S …………………④
　　这第④步，也就是最后一步，表明要死的人和苏格拉底的交集是苏格拉底自己，从而证明了苏拉拉底也是要死的。
　　可以看出，布尔的工作主要是对逻辑进行数学化，并成功地创立了一门新的学科：逻辑代数。有时候，人们也称之为布尔代数。用布尔代数解决逻辑问题还有一个显著的好处，那就是同一个证明过程可以用来解决不同的，但本质上属于同一种类型的逻辑问题。比如上面的证明过程同样适用于下面的三段论：
　　金属可以导电。

　　铅是金属，
　　所以，铅可以导电。
　　字符和“×”和“＋”运算符也可以用在其它逻辑形式上，比如联言推理和选言推理，也就是命题演算①。
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　　注① 按一定的原理和公式对命题进行计算。

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　　在布尔代数里，可以用字母来表示一个命题。比如，用A来表示命题“左边的牌是2”；用B来表示“左边的牌是方块”。因为在传统的形式逻辑中，一个命题不是真的就是假的，没有其它可能，所以用0代表真，1代表假。这样，命题A和B就只能有两个可能的值0和1。如果A命题是真的，则
　　A ＝ 1
　　否则
　　A ＝ 0
　　除此之外，不可能再有其它值，如果A=3。这在逻辑上没有任何实际意义。

　　我们知道，在联言推理中，各个支命题之间是并列关系，通常用“并且”来连结。为了表示这种逻辑关系，布尔代数使用“×”这个符号。这样，一个联言命题可以表示成
　　A × B
　　有时候，为了方便而把它写成A·B，或者干脆写成
　　AB
　　这和初中数学课上的方法是一致的。这样，如果各个支命题都为假，则联言推理的结果就是假的：

　　A × B ＝ 0× 0 ＝ 0
　　或者，如果这些支命题不全为假，推理结果也还是假的：
　　A × B ＝ 0× 1 ＝ 1× 0 ＝ 0
　　只有在所有的支命题都为真的情况下，联言推理的结果才为真：
　　A × B ＝ 1× 1 ＝ 1

　　反过来，如果已经知道支命题A=1，联言推理的结果为假，即
　　A × B ＝ 1× B ＝ 0
　　则很容易推理（计算）出另一个支命题B为假，即B = 0。
　　每个命题都有真假，即要么是1，要么是0，这叫真值，也叫逻辑值。“真值”的意思是它本来的值、真正的值。因为它到底是真是假，不以你的看法为转移。有时候，它本来是假的，但你却误以为它是真的。
　　任何一个联言命题，它的真假与其各个支命题之间的关系如下表所示（假如只有两个支命题），这叫做真值表：